Función lineal y afín - PAES M1

Este resumen corresponde al Eje Temático Álgebra y funciones en la unidad temática Función lineal y afín, la que se describe como:

• Concepto de función lineal y función afín.
• Tablas y gráficos de función lineal y función afín.
• Problemas que involucren función lineal y función afín en diversos contextos

¿Qué es una función lineal?

Una función lineal $f$ es una función de la forma $f(x) = mx$, con $m \neq 0$.

Una función lineal relaciona las variables $x$ y $f(x)$ que están en proporcionalidad directa.

Recuerda que dos variables tienen una relación de proporcionalidad directa cuando el cociente entre cada par de sus valores es constante. A esta constante se le llama constante de proporcionalidad. Esta relación puede ser descrita por la ecuación:

$$y = mx$$

donde $x$ e $y$ representan las variables relacionadas y el valor $m$ es la constante de proporcionalidad.

Al representar gráficamente una función lineal en el plano cartesiano, se obtiene una recta que pasa por el punto (0, 0) y el valor $m$ corresponde a la pendiente de la recta.

Si los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ pertenecen a la gráfica de una función afín, la pendiente $m$ se calcula como:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

La recta que representa a la función lineal $f(x) = mx$ es creciente cuando $m > 0$ y es decreciente si $m < 0$.
Un punto $(a, b)$ pertenece al gráfico de una función lineal definida por $y = mx$, si se verifica la igualdad $b = m \cdot a$.
A no ser que se diga lo contrario, se asume que el dominio y el recorrido de la función lineal corresponden al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.

¿Qué es una función afín?

Una función afín es una función lineal trasladada de manera vertical en el plano cartesiano.

Una función afín $f$ es una función de la forma $f(x) = mx + n$, con $m \neq 0$ y $n \neq 0$.

Al representar gráficamente una función afín en el plano cartesiano, se obtiene una recta que pasa por el punto $(0, n)$ y el valor $m$ corresponde a la pendiente de la recta. El coeficiente $n$ se denomina coeficiente de posición e indica la intersección de la recta con el eje de las ordenadas.

Si los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ pertenecen a la gráfica de una función afín, la pendiente $m$ se calcula como:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Un punto $(a, b)$ pertenece al gráfico de una función afín definida por $y = mx + n$, si se verifica la igualdad $b = m \cdot a + n$.
A no ser que se diga lo contrario, se asume que el dominio y el recorrido de la función afín corresponden al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.