Introducción a las potencias - PAES M1

Información Temario PAES

Este resumen corresponde al Eje Temático Números en la unidad temática Potencias la que se describe como:

• Propiedades de las potencias de base racional y exponente racional.
• Problemas que involucren potencias en diversos contextos.

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Concepto de potencia

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. La base corresponde al factor que se repite y el exponente indica cuántas veces debe repetirse:

$$a^n = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \quad (n\text{ veces})$$

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Potencias de base racional y exponente entero

Una potencia de base racional y exponente entero tiene la forma $a^n$, con $a \in \mathbb{Q}$ y $n \in \mathbb{Z}$.

Potencias con exponente entero positivo

Cuando el exponente es positivo, se repite la base las veces que indique el exponente:

Ejemplo 1

$$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$$

Ejemplo 2

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$$

Ejemplo 3

$$-\left(\frac{2}{3}\right)^4 = -\frac{16}{81}$$

Ejemplo 4

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$$

Generalización:
Para $a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0, n \in \mathbb{Z}^+$ se cumple:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

• Si $\dfrac{a}{b} < 0$ y $n$ par, entonces el resultado es positivo.
• Si $\dfrac{a}{b} < 0$ y $n$ impar, entonces el resultado es negativo.

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Potencias con exponente cero

Sea $R \ne 0$ un número racional:

$$R^0 = R^{n - n} = \frac{R^n}{R^n} = 1$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \quad \text{con } a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0$$

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Potencias con exponente entero negativo

Para $7^{-2}$, por ejemplo:

$$7^{-2} = 7^{3 - 5} = \frac{7^3}{7^5} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$$

Ejemplo:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$$

Otro ejemplo:

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(-\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{81}{16}$$

Y si el exponente es impar:

$$\left(-\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8}$$

Generalización:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}$$

• Si $\dfrac{a}{b} < 0$ y $n$ par: resultado positivo.
• Si $\dfrac{a}{b} < 0$ y $n$ impar: resultado negativo.

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Propiedades de las potencias

Multiplicación de potencias de igual base

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n+m}$$

Multiplicación con igual exponente

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n$$

División de potencias de igual base

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{a}{b}\right)^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n-m}$$

División de potencias con igual exponente

$$\left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\right)^n$$

Potencia de una potencia

$$\left[\left(\frac{a}{b}\right)^n\right]^m = \left(\frac{a}{b}\right)^{n \cdot m}$$

Estas propiedades también se aplican cuando las bases son racionales y los exponentes enteros.

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Ejercicios con potencias

Ejercicio 1

Sea $n$ un número racional tal que $0 < n < 1$. ¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera?

A) $n^0 = 0$
B) $n^{-1} > 1$
C) $-n^{-1} > 0$
D) $n \cdot n = 2n$
E) $(-n)^2 < 0$

Ver solución

Paso a paso:

• A) Falsa: cualquier número distinto de 0 elevado a 0 da 1.
• B) Verdadera: si $0 < n < 1$ entonces su inverso $n^{-1} = \frac{1}{n}$ es mayor que 1.
• C) Falsa: el inverso es positivo, pero el signo negativo vuelve el resultado negativo.
• D) Falsa: $n \cdot n = n^2$, no $2n$.
• E) Falsa: $(-n)^2$ siempre da un valor positivo.

✅ Alternativa correcta: B

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Ejercicio 2

¿Cuál de estas potencias equivale al resultado de $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\dfrac{4}{9}\right)^5$?

A) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}$
B) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{27}$
C) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{30}$
D) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{140}$
E) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{200}$

Ver solución

Paso a paso:

• Reescribimos: $\left(\frac{2}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^5$
• Notamos que $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$
• Entonces: $\left(\frac{4}{9}\right)^5 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^5 = \left(\frac{2}{3}\right)^{10}$
• Sumamos los exponentes: $20 + 10 = 30$

✅ Alternativa correcta: C

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Ejercicio 3

¿Cuál de estas potencias equivale al resultado de $\left[(-12)^6 : 4^6\right] \cdot (-3)^2$?

A) $(-3)^8$
B) $-3^8$
C) $(-6)^2$
D) $-6^2$
E) $(-3)^{12}$

Ver solución

Paso a paso:

• $\left[(-12)^6 : 4^6\right] = \left(\frac{-12}{4}\right)^6 = (-3)^6$
• Luego multiplicamos: $(-3)^6 \cdot (-3)^2 = (-3)^{6+2} = (-3)^8$

✅ Alternativa correcta: A

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Ejercicio 4

Sean $a$ y $b$ números reales. Si el resultado de la potencia $a^b$ es 0, entonces es siempre cierto que:

A) $a = 0$
B) $b = 0$
C) $a = 1$
D) $b = 1$
E) $a = b$

Ver solución

Paso a paso:

• Si $a^b = 0$ es porque la base es 0. No hay ningún otro valor que al elevarlo a una potencia dé exactamente 0.
• Si $b = 0$, entonces el resultado es 1 (no 0), por lo tanto, B es falsa.
• Las demás no necesariamente implican que el resultado sea 0.

✅ Alternativa correcta: A