¿Qué es una raíz cuadrada?

Clase de raices cuadradas?

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Definición de raíz cuadrada

Sea $a$ un número real. Si $x^2 = a$, entonces $x$ es la raíz cuadrada de $a$:

$$x^2 = a \; \Leftrightarrow \; \sqrt{a} = x$$

La cantidad $a$ se denomina cantidad subradical y 2 es el índice de la raíz. Cuando el índice de la raíz es 2, el índice no se escribe y se deja tácito, es decir, la raíz cuadrada del número real $a$ es $\sqrt{a}$ y no $\sqrt[2]{a}$.

En otras palabras, para calcular $\sqrt{a}$ se debe encontrar un número $x$ que elevado a 2 dé como resultado $a$.

Ejemplo 1

¿Qué número $x$ elevado a 2 da como resultado 81? Como $9^2 = 9 \cdot 9 = 81$, entonces:

$$\sqrt{81} = 9$$

Ejemplo 2

¿Qué número $x$ elevado a 2 da como resultado 100? Como $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$, entonces:

$$\sqrt{100} = 10$$

Ejemplo 3

¿Qué número $x$ elevado a 2 da como resultado 16? Como $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$, entonces:

$$\sqrt{16} = 4$$

Ejemplo 4

¿Qué número $x$ elevado a 2 da como resultado -16? Sabemos que $4^2 = 16$ y que $(-4)^2 = 16$, por lo que no existe un número real $x$ que elevado a 2 dé como resultado -16. Un número negativo multiplicado una cantidad par de veces siempre da un resultado positivo. Se concluye que:

$$\sqrt{-16}\text{ no existe en }\mathbb{R}.$$

A partir de los ejemplos anteriores, ¿la raíz cuadrada de un número real siempre es un número real? La respuesta es negativa, ya que su existencia en $\mathbb{R}$ depende del valor de la cantidad subradical. En términos generales se cumple lo siguiente:

• Si $a$ es un número positivo, entonces $\sqrt{-a}$ NO es un número real.

Propiedades de las raíces cuadradas

Cuando las raíces cuadradas involucradas en una operación están definidas en los números reales, es posible aplicar las siguientes propiedades:

Multiplicación de raíces de igual índice

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}, \quad a,b \in \mathbb{R}^+$$

División de raíces de igual índice

$$\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}, \quad a,b \in \mathbb{R}^+$$

Introducción y extracción de un término a una raíz

$$\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}, \quad a,b \in \mathbb{R}^+$$

Un caso particular que se desprende de las propiedades anteriores es el valor de las expresiones $\sqrt{a^2}$ y $(\sqrt{a})^2$. Siempre que estas raíces están definidas en $\mathbb{R}$ se cumple que:

$$\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = |a|, \quad a \in \mathbb{R}$$

Note que NO existe una propiedad que haga referencia a la adición o sustracción de raíces cuadradas. La raíz cuadrada de una adición o sustracción NO equivale a la adición o sustracción de raíces:

$$\sqrt{a \pm b} \neq \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$$

Racionalización

En términos generales, racionalizar es el proceso que permite encontrar una expresión equivalente a una que contiene raíces irracionales en el denominador, de modo que la nueva expresión no las tenga.

Caso 1: Para $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}^+$:

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

Caso 2: Para $a \in \mathbb{R}$, $b,c \in \mathbb{R}^+$ y $b \neq c$:

$$\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c},$$ $$\frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b} + \sqrt{c}}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} + \sqrt{c})}{b - c}.$$

Ejemplo Caso 1

Amplificar $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$ para que el denominador sea racional. Como $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$, amplificamos:

$$\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$$

Ejemplo Caso 2

Racionalizar $\dfrac{6}{\sqrt{8} + \sqrt{5}}$. Usamos suma por diferencia:

$$(\sqrt{8} + \sqrt{5})(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = 8 - 5 = 3$$

Por lo tanto:

$$\frac{6}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{\sqrt{8} - \sqrt{5}} = 2(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{8} - 2\sqrt{5}$$

Relaciones de orden en las raíces cuadradas

Entre dos raíces cuadradas positivas, es mayor la que tiene menor cantidad subradical.

Si aparece un factor fuera de la raíz, se puede introducir y luego comparar subradicales.

Ejemplo

Ordena de menor a mayor los números $\sqrt{7}$, $3\sqrt{6}$, $5\sqrt{3}$ y $2\sqrt{5}$. Aplicando introducción de término:

$$3\sqrt{6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54},$$ $$5\sqrt{3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75},$$ $$2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}.$$

Así, ordenar es equivalente a comparar $\sqrt{7}, \sqrt{20}, \sqrt{54}, \sqrt{75}$. Como $7 < 20 < 54 < 75$:

$$\sqrt{7} < 2\sqrt{5} < 3\sqrt{6} < 5\sqrt{3}.$$