Razones y proporciones - PAES M1

Razones y Proporciones - PAES M1

Las razones y proporciones son conceptos fundamentales en matemáticas que permiten comparar cantidades y establecer relaciones entre ellas. Estos conceptos son esenciales para resolver problemas en diversas áreas, como la geometría, la estadística y la economía.

¿Qué es una razón y una proporción?

La razón entre dos cantidades $a$ y $b$, con $b \neq 0$, se escribe como:

$\dfrac{a}{b} \quad \text{ó} \quad a : b$

Lo cual se lee como “$a$ es a $b$”. La cantidad que ocupa la posición de $a$ se denomina antecedente y la cantidad que ocupa la posición de $b$ se llama consecuente.

Definición: Una razón es la comparación de dos cantidades, por medio de su división.
Una proporción es la igualdad entre dos o más razones.

Cuando dos o más razones poseen el mismo valor numérico, éstas forman una proporción. Si la razón $\frac{a}{b}$, con $b \neq 0$, tiene valor numérico $k$ y la razón $\frac{c}{d}$, con $d \neq 0$, tiene valor numérico $k$, entonces ambas forman una proporción:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$

La proporción anterior se lee “$a$ es a $b$ como $c$ es a $d$”. El valor $k$ es la constante de proporcionalidad. Las cantidades que ocupan las posiciones de $a$ y $d$ se denominan extremos, y las cantidades que ocupan las posiciones de $b$ y $c$ se denominan medios.

Por ejemplo, la razón $\frac{1}{2}$ tiene valor 0,5 y la razón $\frac{3}{6}$ tiene valor 0,5. Como ambas poseen el mismo valor numérico, entonces ambas forman la proporción:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$

Nota que las fracciones $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{6}$ son fracciones equivalentes.

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Teorema Fundamental de las Proporciones

El teorema fundamental de las proporciones establece que en una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$

Con $a, b, c$ y $d$ distintos de 0.

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